一、选择题
1.已知等比数列{an}，且a4+a8=
dx，则a6(a2+2a6+a10)的值为()
A.π2 B.4
C.π D.-9π
答案：A 命题立意：本题考查等比数列的性质及定积分的运算，正确地利用定积分的几何意义求解积分值是解答本题的关键，难度中等.
解题思路：由于dx表示圆x2+y2=4在第一象限内部分的面积，故dx=×π×22=π，即a4+a8=π，又由等比数列的性质，得a6(a2+2a6+a10)=a6a2+2a+a6a10=a+2a4a8+a=(a4+a8)2=π2，故选A.
2.(东北三校二次联考)已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，若S21=S4 000，O为坐标原点，点P(1，an)，点Q(2 011，a2 011)，则·=()
A.2 011 B.-2 011
C.0 D.1
答案：A 命题立意：本题考查等差数列前n项和公式与性质及平面向量的坐标运算，难度中等.
解题思路：由已知S21=S4 000a22+a23+…+a4 000==3 979a2 011=0，故有a2 011=0，
因此·=2 011+ana2 011=2 011，故选A.
3.以双曲线-=1的离心率为首项，以函数f(x)=4x-2的零点为公比的等比数列的前n项的和Sn=()
A.3×(2n-1) B.3-(2n-1)
C.- 3×(2n-1) D.-3+(2n-1)
答案：B 命题立意：本题考查双曲线的离心率及函数的零点与等比数列前n项和公式的应用，难度较小.
解题思路：由双曲线方程易得e==，函数零点为，故由公式可得Sn==3=3-，故选B.
4.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=15，S5=55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线的斜率为()
A.4 B.1
C.-4 D.-14
答案：A 命题立意：本题考查等差数列的性质、前n项和及直线斜率的坐标计算形式，难度较小.
解题思路：由题S5==55，故a1+a5=22，根据等差数列的性质可知a1+a5=2a3=22，故a3=11，因为a4=15，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线的斜率为kPQ===4，故选A.
5.在等比数列{an}中，对于n∈N*都有an+1·a2n=3n，则a1·a2·…·a6=()
A.±()11 B.()13
C.±35 D.36
答案：D 命题立意：本题考查数列的递推公式、等比数列的性质及整体代换思想，考查考生的运算能力，难度中等.
解题思路：由等比数列的性质可知，a1·a2·a3·a4·a5·a6=(a2·a6)·a4·(a1·a5)·a3=(a3)3(a4)3=(a3·a4)3，令n=2，得a3·a4=32，故选D.
6.等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，已知(a8+1)3+2 013(a8+1)=1，(a2 006+1)3+2 013(a2 006+1)=-1，则下列结论正确的是()
A.d0，S2 013=2 013
C.d0，S2 013=-2 013
答案：C 命题立意：本题考查函数的性质——单调性与奇偶性、等差数列的性质与前n项和公式，难度中等.
解题思路：记f(x)=x3+2 013x，则函数f(x)是在R上的奇函数与增函数;依题意有f(a8+1)=-f(a2 006+1)=1>f(0)=0，即f(a8+1)=f[-(a2 006+1)]=1，a8+1=-(a2 006+1)，a8+1>0>a2 006+1即a8>a2 006，d=c，因此有2a=3c，故=.三、解答题
11.已知函数f(x)=x2+bx为偶函数，数列{an}满足an+1=2f(an-1)+1，且a1=3，an>1.
(1)设bn=log2(an-1)，求证：数列{bn+1}为等比数列;
(2)设cn=nbn，求数列{cn}的前n项和Sn.
命题立意：本题主要考查函数的性质，数列的通项公式和前n项和公式等知识.解题时，首先根据二次函数的奇偶性求出b值，确定数列通项的递推关系式，然后由等比数列的定义证明数列{bn+1}为等比数列，这样就求出数列{bn}的通项公式，进一步就会求出数列{cn}的通项公式，从而确定数列{cn}的前n项和Sn的计算方法.
解析：(1)证明： 函数f(x)=x2+bx为偶函数，
b=0， f(x)=x2，
an+1=2f(an-1)+1=2(an-1)2+1，
an+1-1=2(an-1)2.
又a1=3，an>1，bn=log2(an-1)，
b1=log2(a1-1)=1，
====2，
数列{bn+1}是首项为2，公比为2的等比数列.
(2)由(1)，得bn+1=2n， bn=2n-1，
cn=nbn=n2n-n.
设An=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，
则2An=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1，
-An=2+22+23+…+2n-n×2n+1
=-n×2n+1=2n+1-n×2n+1-2，
An=(n-1)2n+1+2.
设Bn=1+2+3+4+…+n，则Bn=，
Sn=An-Bn=(n-1)2n+1+2-.
12.函数f(x)对任意xR都有f(x)+f(1-x)=1.
(1)求f的值;
(2)数列{an}满足：an=f(0)+f+f+…+f+f(1)，求an;
(3)令bn=，Tn=b+b+…+b，Sn=8-，试比较Tn与Sn的大小.
解析：(1)令x=，
则有f+f=f+f=1.
f=.
(2)令x=，得f+f=1，
即f+f=1.
an=f(0)+f+f+…+f+f(1)，
an=f(1)+f+f+…+f+f(0).
两式相加，得
2an=[f(0)+f(1)]++…+[f(1)+f(0)]=n+1，
an=，nN*.
(3)bn==，
当n=1时，Tn=Sn;
当n≥2时，
Tn=b+b+…+b
=4
0;
当n≥3时，bn+1-bn
