石家庄2016届高三教学质量检测(一)数学(理)试题及答案
石家庄2016届高三教学质量检测(一)数学(理)试题答案
一、选择题：
1-5BBCADBDDBCAC
二、填空题：
13.814.15.16.
三、解答题
17．解：(Ⅰ)由已知，得………………………1分
即得
又由，得………………………3分
故，………………………5分
（Ⅱ）由已知可得，………………………6分
……………………10分
18.解：(Ⅰ)由
变形为
………………2分
因为
所以
………………4分
又………………6分
（Ⅱ）在中，，，
利用余弦定理，
解得，………………8分
又D是的中点
……………
19．(Ⅰ)证明：取AD的中点E，连接PE，BE，BD．
∵PA＝PD＝DA，四边形ABCD为菱形，且∠BAD＝60°，∴△PAD和△ABD为两个全等的等边三角形，
则PE⊥AD，BE⊥AD，∴AD⊥平面PBE，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
又PBÌ平面PBE，∴PB⊥AD；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
(Ⅱ)解：在△PBE中，由已知得，PE＝BE＝，PB＝，则PB2＝PE2＋BE2，
∴∠PEB＝90°，即PE⊥BE，又PE⊥AD，∴PE⊥平面ABCD；
以点E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则E(0,0,0)，C(－2,,0)，D(－1,0,0)，P(0,0,)，
则→DP＝(1,0,)，→DC＝(－1,,0)，
由题意可设平面APD的一个法向量为m＝(0,1,0)；．．．．．．．．．．．．．．．．7分
设平面PDC的一个法向量为n＝(x,y,z)，
由n·＝0n·＝0得：－x＋y＝0，x＋z＝0，令y＝1，则x＝，z＝－1，∴n＝(,1,－1)；
则m·n＝1，∴cos＝| m|| n |m·n＝＝55，．．．．．．．．．．．．．11分
由题意知二面角A－PD－C的平面角为钝角，所以，二面角A－PD－C的余弦值为－55．．．．．．．．12分
20.解：（I）北方工厂灯具平均寿命：
小时；…………3分
南方工厂灯具平均寿命：
小时.…………6分
（Ⅱ）设北方工厂两件灯具能够正常使用的事件分别为A，B；南方工厂两件灯具能够正常使用的
事件分别为C，D；
由题意可知：;…………8分
则：采购北方工厂灯具的概率
…………10分
.………
21．解：（Ⅰ）由题意①，②，…………2’
又③，由①②③解得：，
所以求椭圆的标准方程为.…………4’
（Ⅱ）设直线方程为（），且，直线的斜率分别为，
将代入得：
，
由韦达定理可得：.…………7’
由得，，将代入，整理得：
即…………10’
将代入，整理可解得…………12’
22..解：(Ⅰ)由已知，，………1分
所以，
由，得或；由，得，………3分
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是.………4分
（Ⅱ）由（1）可知极小值；极大值为
可知方程三个实根满足………5分
设，
则，
即
所以，
由（1）知函数在上单调递减，
从而，即①………8分
同理设
）
即
，
由（1）知函数在上单调递增，
从而，即②………11分
由①②可得得证.……
