2016年陕西高考数学专练练习:三角函数的图象与性质
一、选择题
1.已知函数y=Asin(ωx+φ)+k的值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x=是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为()
A.y=4sin B.y=2sin+2
C.y=2sin+2 D.y=2sin+2
答案：D 解题思路：由题意：解得：又函数y=Asin(ωx+φ)+k最小正周期为，
ω==4， f(x)=2sin(4x+φ)+2.又直线x=是f(x)图象的一条对称轴，
4×+φ=kπ+， φ=kπ-，kZ，故可得y=2sin+2符合条件，所以选D.
2.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f(x)的递增区间是()
A.[6k-1,6k+2](kZ) B.[6k-4,6k-1](kZ)
C.[3k-1,3k+2](kZ) D.[3k-4,3k-1](kZ)
答案：B 解题思路：|AB|=5，|yA-yB|=4，所以|xA-xB|=3，即=3，所以T==6，ω=.由f(x)=2sin过点(2，-2)，即2sin=-2,0≤φ≤π，解得φ=.函数f(x)=2sin，由2kπ-≤x+≤2kπ+，解得6k-4≤x≤6k-1，故函数的单调递增区间为[6k-4,6k-1](kZ).
3.当x=时，函数f(x)=Asin(x+φ)(A>0)取得最小值，则函数y=f是()
A.奇函数且图象关于点对称
B.偶函数且图象关于点(π，0)对称
C.奇函数且图象关于直线x=对称
D.偶函数且图象关于点对称
答案：C 解题思路：由已知可得f=Asin+φ=-A， φ=-π+2kπ(kZ)，
f(x)=Asin，
y=f=Asin(-x)=-Asin x，
函数是奇函数，关于直线x=对称.
4.将函数y=sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是()
A. B.
C. D.
答案：A 命题立意：本题考查了三角函数图象的平移及三角函数解析式的对应变换的求解问题，难度中等.
解题思路：将函数y=sin图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，得y=sin，再向右平移个单位，得y=sin=sin 2x，令2x=kπ，kZ可得x=kπ，kZ，即该函数的对称中心为，kZ，故应选A.
易错点拨：周期变换与平移变换过程中要注意变换的仅是x，防止出错.
5.已知函数f(x)=sin(xR，ω>0)的部分图象如图所示，点P是图象的点，Q是图象的最低点，且|PQ|=，则f(x)的最小正周期是()
A.6πB.4πC.4 D.6
答案：D 解题思路：由于函数f(x)=sin，则点P的纵坐标是1，Q的纵坐标是-1.又由|PQ|==，则xQ-xP=3，故f(x)的最小正周期是6.
6.设函数f(x)=sin x+cos x，把f(x)的图象按向量a=(m,0)(m>0)平移后的图象恰好为函数y=-f′(x)的图象，则m的最小值为()
A. B.
C. D.
答案：C 解题思路：f(x)=sin x+cos x=sinx+，y=-f′(x)=-(cos x-sin x)=sin， 将f(x)的图象按向量a=(m,0)(m>0)平移后得到y=sin的图象， sin=sin.故m=+2kπ，kN，故m的最小值为.
二、填空题
7.(哈尔滨二模)函数f(x)=Asin(ωx+φ)+k的图象如图所示，则f(x)的表达式是f(x)=______.
答案：sin+1 命题立意：本题考查三角函数的图象与性质，考查待定系数法，难度较小.
解题思路：据图象可得A+k=，-A+k=-，解得A=，k=1，又周期T=2=πω=2，即此时f(x)=sin(2x+φ)+1，又由f=-，可得φ=，故f(x)=sin+1.
8.已知函数f(x)=sin(ω>0)在(0,2]上恰有一个值1和一个最小值-1，则ω的取值范围为______.
答案： 命题立意：本题主要考查三角函数的图象与性质，考查考生的运算求解能力和逻辑推理能力.求函数f(x)=sin(ω>0，x(0,2])的值与最小值，一般通过“整体代换”转化到正弦函数的图象上求解.运用整体换元解题，是指通过观察和分析，把解题的注意力和着眼点放在问题的整体形式和结构特征上，从而触及问题的本质.通过换元，使之化繁为简，化难为易，从而达到求解的目的，是提高解题速度的有效途径.
解题思路：设t=ωx+，t，因为f(t)=sin t在t上有一个值1和一个最小值-1，则解得所以≤ω<.
9.已知a2sin θ+acos θ-2=0，b2sin θ+bcos θ-2=0(a，b，θR，且a≠b)，直线l过点A(a，a2)，B(b，b2)，则直线l被圆(x-cos θ)2+(y-sin θ)2=4所截得的弦长为________.
答案：2 命题立意：本题考查直线与圆的方程及点到直线距离公式的应用，考查函数与方程思想及化简运算能力，难度中等.
解题思路：据已知a，b可视为方程x2sin θ+xcos θ-2=0的两根，由韦达定理可得a+b=-，ab=-，又因为直线AB的方程为y=(a+b)x-ab，故圆心到直线距离d====1，故所求弦长为2=2.
三、解答题
10.已知a=(2cos x+2sin x,1)，b=(y，cos x)，且a∥b.
(1)将y表示成x的函数f(x)，并求f(x)的最小正周期;
(2)记f(x)的值为M，a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若f=M，且a=2，求bc的值.
解析：(1)由a∥b得，2cos2x+2sin xcos x-y=0，
即y=2cos2x+2sin xcos x
=cos 2x+sin 2x+1=2sin+1，
所以f(x)=2sin+1.
又T===π，
所以函数f(x)的最小正周期为π.
(2)由(1)易得M=3，
于是由f=M=3，即2sin+1=3sin=1，因为A为三角形的内角，所以A=.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，解得bc≤4，于是当且仅当b=c=2时，bc取得值，且值为4.
11.已知f(x)=sin+cos+sin 2x，x[0，π].
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调区间;
(2)若ABC中，f=，a=2，b=，求角C.
命题立意：本题主要考查两角和与差的正、余弦公式及三角函数的性质.(1)根据两角和与差的三角函数公式将函数f(x)化简，然后在所给角的取值范围内讨论函数的单调性;(2)利用正弦定理进行求解.
解析：(1)因为f(x)=sin+cos+sin 2x=sin 2x·cos +cos 2x·sin +cos 2x·cos +sin 2x·sin +sin 2x=sin 2x+cos 2x+cos 2x-sin 2x+sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin.
所以f(x)的最小正周期T==π.
因为x[0，π]，所以2x+，
当2x+，即x时，函数f(x)为单调递增函数;
当2x+，即x时，函数f(x)为单调递减函数;
当2x+，即x时，函数f(x)为单调递增函数.
所以函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)因为在ABC中，f=，
所以sin=，所以sin=1，
因为0
又因为a=2，b=，所以由正弦定理=，得=，
所以sin B=，即B=或B=，
所以C=或C=.
链接高考：高考对于三角函数的考查一般是综合考查同角三角函数关系、诱导公式、倍角公式和两角和与差的三角函数公式，运用这些公式先对函数解析式进行化简，再进一步研究其性质.
12.已知函数f(x)=Asin(2x+θ)，其中A≠0，θ.
(1)若函数f(x)的图象过点E，F，求函数f(x)的解析式;
(2)如图，点M，N是函数y=f(x)的图象在y轴两侧与x轴的两个相邻交点，函数图象上一点P满足·=，求函数f(x)的值.
命题立意：本题考查三角函数的恒等变换、平面向量的相关内容以及由f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式等知识.对于第(1)问，根据函数f(x)的图象过点E，F建立方程组，可求得θ的值，利用f=，可求得A的值，从而可得函数解析式;对于第(2)问，一种方法是先求出点M，N的坐标，再利用·=，即可求出函数f(x)的值;另一种方法是过点P作PC垂直x轴于点C，利用·=，求得||=，从而||=||-||=，由此可得θ+2t=，利用P在函数f(x)图象上，即可求得函数f(x)的值.
解析：(1) 函数f(x)的图象过点E，F，
∴ sin=sin，
展开得cos θ+sin θ=.
cos θ=sin θ，tan θ=，
θ∈， θ=，
函数f(x)=Asin，
f=，
A=2.
f(x)=2sin.
(2)解法一：令f(x)=Asin(2x+θ)=0， 2x+θ=kπ，kZ， 点M，N分别位于y轴两侧，则可得M，N，
=，=，
·==， +t=，
θ+2t=.
P在函数图象上，
Asin(θ+2t)=Asin=，
A=. 函数f(x)的值为.
解法二：过点P作PC垂直x轴于点C.
令f(x)=Asin(2x+θ)=0. 2x+θ=kπ，kZ，
M，N分别位于y轴两侧，可得M，N， ||=，
·=||·||cos PNM
=·||cos PNM=·||=，
||=， ||=||-||=，
即+t=.
θ+2t=， Asin(θ+2t)=Asin =，
A=. 函数f(x)的值为.
名师语要：本题较好的把三角函数与平面向量结合起来进行考查，既考查了三角函数有关的运算，又考查了向量的数量积运算.近几年的高考中常常把三角函数与平面向量结合考查，也常常把三角函数与正余弦定理结合起来考查.
13.已知函数f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1(xR).
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的值和最小值;
(2)若f(x0)=，x0，求cos 2x0的值.
解析：(1)由f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1，得
f(x)=(2sin xcos x)+(2cos2x-1)
=sin 2x+cos 2x=2sin，
所以函数f(x)的最小正周期为π.
因为f(x)=2sin在区间上为增函数，在区间上为减函数，又f(0)=1，f=2，f=-1，所以函数f(x)在区间上的值为2，最小值为-1.
(2)由(1)可知f(x0)=2sin，
因为f(x0)=，所以sin=.
由x0，得2x0+，
从而cos=-=-，
所以cos 2x0=cos
=coscos +sinsin
