第一章 证明(二)一、等腰三角形1、定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。2、性质：1.等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（“三线合一”） 3.等腰三角形的两底角的平分线相等。（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等） 4.等腰三角形底边上的垂直平分线上的点到两条腰的距离相等。 5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半 6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(可用等面积法证) 7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴3、判定：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。特殊的等腰三角形等边三角形1、定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形。（注意：若三角形三条边都相等则说这个三角形为等边三角形，而一般不称这个三角形为等腰三角形）。2、 性质 ：⑴等边三角形的内角都相等，且均为60度。 ⑵等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互相重合。⑶等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。3、判定：⑴三边相等的三角形是等边三角形。⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形。⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。⑷ 有两个角等于60度的三角形是等边三角形。二、直角三角形全等1、 直角三角形全等的判定 有5种：（1）、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；（ASA）（2）、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；（SAS）（3）、三边对应相等的两个三角形全等；（SSS）（4）、两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；（AAS）（5）、斜边及一条直角边对应相等的两个三角形全等；（HL）2、在直角三角形中，如有一个内角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半 3、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 4垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。 性质：线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 判定：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 5、三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等，交点为三角形的外心。 6、角平分线上的点到角两边的距离相等。 7、在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。8、 角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 9、三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。 10、三角形三条中线交于一点，交点为三角形的重心。11、三角形三条高线交于一点，交点为三角形的垂心。三、平行四边的定义1、定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，2、性质：（1）平行四边形的对边相等,（2）对角相等,（3）对角线互相平分。3、判定：（1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （2）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 （5）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。 （6）一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形。两个假命题：（1）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形。 （2）一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形。 四、矩形1、定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 2、性质：（1）具有平行四边形的性质，（2）对角线相等，（3）四个角都是直角。（4）矩形是轴对称图形，有两条对称轴。 3、判定：（1）有三个角是直角的四边形是矩形。 （2） 对角线相等的平行四边形是矩形。五、菱形1、定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2、性质：（1）具有平行四边形的性质,（2）四条边都相等,（3）两条对角线互相垂直,每一条对角线平分一组对角。（4） 菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 3、判定：（1）四条边都相等的四边形是菱形。（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 (3)一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。六、 正方形1、定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2、性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。3、判定：（1）有一个内角是直角的菱形是正方形； （2）有一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形；（4） 对角线互相垂直的矩形是正方形。七、梯形 定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。八、 等腰梯形 1、定义： 两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。 2、性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。3、 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。 九、三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段。性质:平行于第三边，并且等于第三边的一半。 十、梯形的中位线定义：连接梯形两腰中点的线段。性质:平行于两底，并且等于两底和的一半。
