南昌市2016届高三上学期摸底测试数学(理)试题及答案
南昌市2016届高三上学期摸底测试数学(理)试题及答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
D
A
B
A
B
A
C
D
B
B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14． 15． 16．
三、解答题：本大题共6个题，共70分．
17．解: （Ⅰ）依题意得，，，
解得，. ……………6分
（Ⅱ），，，
，……………10分
所以的分布列为
123450.20.40.20.10.1
的数学期望为.……………12分
18．解：（Ⅰ）由题意：
∴即 ……………3分
∵
∴
∴即 ……………6分
（Ⅱ）由（1）知：
∴……………8分
∵为锐角三角形．
∴
∴ 又
∴ ∴ ……………………10分
∴ ……………………………12分
19．解：(Ⅰ)证明：由题意
注意到,所以,
所以,所以,………………3分
又侧面，
又与交于点，所以,
又因为,所以.……………6分
(Ⅱ) 解：如图，分别以所在的直线为轴，
以为原点，建立空间直角坐标系
则，，
，，，
又因为，
所以 …………8分
所以，，
设平面的法向量为，
则根据可得是平面的一个法向量,
设直线与平面所成角为，则………………12分
20．解：（Ⅰ），，∴ ………1分
，
………3分
∴的方程为． ………5分
（Ⅱ）联立得，联立得， ………7分
从而，
点到直线的距离，进而………9分
令，
有， ………11分
当，时，
即当过原点直线为时，△面积取得最小值．………12分
21．解（Ⅰ）定义域为R， ……………2分
当时， 时，；时，
当时， 时，；时， ……………4分
所以当时,的增区间是，减区间是
当时,的减区间是，增区间是 ……………6分
（Ⅱ）时，，由得：
设，， ……………8分
所以当时，；当时，，
所以在上递增， 在上递减， ……………10分
所以的取值范围是 ……………12分
22．解：（I）连接，因为，所以
为半圆的切线 ，
平分…………………………5分
（Ⅱ）连接，
由知
所以四点共圆
，
，
……………10分
23．解（Ⅰ）将 代入 ，得的参数方程为
∴曲线的普通方程为． ………5分
（Ⅱ）设，，又，且中点为
所以有：
又点在曲线上，
∴代入的普通方程得
∴动点的轨迹方程为． ………10分
24．（Ⅰ）由得 ……………5分
（Ⅱ）
而
……………8分
…………………10分
