宿迁市三校2016届高三学情调研数学试卷及答案（苏教版）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．函数f(x)＝cos2x－sin2x的最小正周期为 ▲ ．
2．已知复数z＝1＋i1，其中i是虚数单位，则|z|＝ ▲ ．
3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一年级抽取 ▲ 名学生．
4．从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是 ▲ ．
5．已知向量a＝(2，1)，b＝(0，－1)．若(a＋λb)⊥a，
则实数λ＝ ▲ ．
6．右图是一个算法流程图，则输出S的值是 ▲ ．
7．已知双曲线a2x2－b2y2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程
为y＝±x，则该双曲线的离心率为 ▲ ．
8．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是 ▲ ．
9．设f(x)＝x2－3x＋a．若函数f(x)在区间(1，3)内有零点，则实数a的取值范围为 ▲ ．
10．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．已知a＋2c＝2b，sinB＝2sinC，则cosA＝ ▲ ．
11．若f(x)＝xa－x＋3a，x＜1， x≥1，是R上的单调函数，则实数a的取值范围为 ▲ ．
12．记数列{an}的前n项和为Sn．若a1＝1，Sn＝2(a1＋an)(n≥2，n∈N*)，则Sn＝ ▲ ．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，点A，B在圆C上，且AB＝2，则|→OA＋→OB|的值是 ▲ ．
14．已知函数f(x)＝x－1－(e－1)lnx，其中e为自然对数的底，则满足f(ex)＜0的x的取值范围
为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(0＜φ＜2π)的图象过点(2π，－2)．
（1）求φ的值；
（2）若f(2α)＝56，－2π＜α＜0，求sin(2α－6π)的值．
16．（本小题满分14分）
如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别为AB，B1C1的中点．
（1）求证：MN∥平面AA1C1C；
（2）若CC1＝CB1，CA＝CB，平面CC1B1B⊥平面ABC，求证：AB^平面CMN．
17．（本小题满分14分）
已知{an}是等差数列，其前n项的和为Sn， {bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝21，
S4＋b4＝30．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）记cn＝anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．
18．（本小题满分16分）
给定椭圆C：a2x2＋b2y2＝1(a＞b＞0)，称圆C1：x2＋y2＝a2＋b2为椭圆C的“伴随圆”．已知椭圆C的离心率为23，且经过点(0，1)．
（1）求实数a，b的值；
（2）若过点P(0，m)(m＞0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2，求实数m的值．
19．（本小题满分16分）
如 图（示意），公路AM、AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝－2．在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别 为3km，km．现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园．为尽量减少耕地占用，问如何确定B点的位置，使得该工业园 区的面积最小？并求最小面积．
20．（本小题满分16分）
已知函数f(x)＝ax3＋|x－a|，aR．
（1）若a＝－1，求函数y＝f(x) (x[0，＋∞))的图象在x＝1处的切线方程；
（2）若g(x)＝x4，试讨论方程f(x)＝g(x)的实数解的个数；
（3）当a＞0时，若对于任意的x1[a，a＋2]，都存在x2[a＋2，＋∞)，使得f(x1)f(x2)＝1024，求满足条件的正整数a的取值的集合．
宿迁市三校2016届高三学情调研数学试卷及答案（附加题）
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，PA是圆O的切线，A为切点，PO与圆O交于点B、C，AQ^OP，垂足为Q．若PA＝4，PC＝2，求AQ的长．
B．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵A＝31属于特征值l的一个特征向量为α＝－1 1 ．
（1）求实数b，l的值；
（2）若曲线C在矩阵A对应的变换作用下，得到的曲线为C¢：x2＋2y2＝2，求曲线C的方程．
C．选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为2321t1(t为参数 )，圆C的参数方程为3y＝sinθ＋cosθ，(θ为参数)．若点P是圆C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．
D．选修4—5：不等式选讲
已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：(ax＋by)(bx＋ay)≥xy．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，CC1＝5，E是棱CC1上不同于端点的点，且→CE＝λ→CC1．
（1） 当∠BEA1为钝角时，求实数λ的取值范围；
（2） 若λ＝52，记二面角B1－A1B－E的的大小为θ，求|cosθ|．
23．某商店为了吸引顾客，设计了一个摸球小游戏，顾客从装有1个红球，1个白球，3个黑球的袋中一次随机的摸2个球，设计奖励方式如下表：
结果奖励1红1白10元1红1黑5元2黑2元1白1黑不获奖（1）某顾客在一次摸球中获得奖励X元，求X的概率分布表与数学期望；
（2）某顾客参与两次摸球，求他能中奖的概率．
宿迁市三校2016届高三学情调研数学试卷及答案（苏教版）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．π 2．22 3．32 4．21 5．5
6．35 7．2 8． 9．(0，49] 10．42
11．[21，＋∞) 12．2－2n－1 13．8 14．(0，1)
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
15．（本小题满分14分）
解：（1）因为函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(0＜φ＜2π)的图象过点(2π，－2)，
所以f(2π)＝2sin(π＋φ)＝－2，
即sinφ＝1． …………………………………………… 4分
因为0＜φ＜2π，所以φ＝2π． …………………………………………… 6分
（2）由（1）得，f(x)＝2cos2x． ………………………………………… 8分
因为f(2α)＝56，所以cosα＝53．
又因为－2π＜α＜0，所以sinα＝－54． …………………………………… 10分
所以sin2α＝2sinαcosα＝－2524，cos2α＝2cos2α－1＝－257．…………………… 12分
从而sin(2α－6π)＝sin2αcos6π－cos2αsin6π＝503． …………………… 14分
16．（本小题满分14分）
证明：（1）取A1C1的中点P，连接AP，NP．
因为C1N＝NB1，C1P＝PA1，所以NP∥A1B1，NP＝21A1B1． …………………… 2分
在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1∥AB，A1B1＝AB．
故NP∥AB，且NP＝21AB．
因为M为AB的中点，所以AM＝21AB．
所以NP＝AM，且NP∥AM．
所以四边形AMNP为平行四边形．
所以MN∥AP． ……………………………………… 4分
因为APÌ平面AA1C1C，MNË平面AA1C1C，
所以MN∥平面AA1C1C． ……………………………………………… 6分
（2）因为CA＝CB，M为AB的中点，所以CM⊥AB． …………………………… 8分
因为CC1＝CB1，N为B1C1的中点，所以CN⊥B1C1．
在三棱柱ABC－A1B1C1中，BC∥B1C1，所以CN^BC．
因为平面CC1B1B⊥平面ABC，平面CC1B1B∩平面ABC＝BC．CNÌ平面CC1B1B，
所以CN⊥平面ABC． …………………………………… 10分
因为ABÌ平面ABC，所以CN⊥AB． …………………………………… 12分
因为CMÌ平面CMN，CNÌ平面CMN，CM∩CN＝C，
所以AB⊥平面CMN． …………………………………… 14分
所以AB⊥平面CMN． …………………………………… 14分
17．（本小题满分14分）
解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．
由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d．……………………………… 3分
由条件a4＋b4＝21，S4＋b4＝30，得方程组8＋6d＋2q3＝30，2＋3d＋2q3＝21，解得q＝2．d＝1，
所以an＝n＋1，bn＝2n，n∈N*． ……………………………… 7分
（2）由题意知，cn＝(n＋1)×2n．
记Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn．
则Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn
＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋n×2n－1 ＋(n＋1)×2n，
2 Tn＝ 2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n＋ (n＋1)2n＋1，
所以－Tn＝2×2＋(22＋23＋…＋2n )－(n＋1)×2n＋1， …………………………… 11分
即Tn＝n·2n＋1，n∈N*． ……………………………… 14分
18．（本小题满分16分）
解：（1）记椭圆C的半焦距为c．
由题意，得b＝1，ac＝23，c2＝a2＋b2，
解得a＝2，b＝1． ……………………………………………… 4分
（2）由（1）知，椭圆C的方程为4x2＋y2＝1，圆C1的方程为x2＋y2＝5．
显然直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0．…………………………………… 6分
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，
故方程组4x2＋y2＝1x2 （*） 有且只有一组解．
由（*）得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0．
从而△＝(8km)2－4(1＋4k2)( 4m2－4)＝0．
化简，得m2＝1＋4k2．① ………………………………………… 10分
因为直线l被圆x2＋y2＝5所截得的弦长为2，
所以圆心到直线l的距离d＝5－2＝．
即＝． ② ……………………………………… 14分
由①②，解得k2＝2，m2＝9．
因为m＞0，所以m＝3． ……………………………………… 16分
19．（本小题满分16分）
解：（方法一）
如图1，以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系．
因为tanα＝－2，故直线AN的方程是y＝－2x．
设点P(x0，y0)．
因为点P到AM的距离为3，故y0＝3．
由P到直线AN的距离为，
得5∣2x0＋y0∣5∣2x0＋y0∣＝，解得x0＝1或x0＝－4(舍去)，
所以点P(1，3)． ……………………………… 4分
显然直线BC的斜率存在．设直线BC的方程为y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0)．
令y＝0得xB＝1－k3． ……………………………… 6分
由y＝－2xx－1，解得yC＝k＋26－2k． ……………………………… 8分
设△ABC的面积为S，则S＝21×xB×yC＝k2＋2k－k2＋6k－9＝－1＋k2＋2k8k－9． …………… 10分
由S¢＝ 2k－3＝0得k＝－43或k＝3．
当－2＜k＜－43时，S¢＜0，S单调递减；当－43＜k＜0时，S¢＞0，S单调递增．… 13分
所以当k＝－43时，即AB＝5时，S取极小值，也为最小值15．
答：当AB＝5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2．…………… 16分
（方法二）
如图1，以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系．
因为tanα＝－2，故直线AN的方程是y＝－2x．
设点P(x0，y0)．
因为点P到AM的距离为3，故y0＝3．
由P到直线AN的距离为，
得5∣2x0＋y0∣5∣2x0＋y0∣＝，解得x0＝1或x0＝－4(舍去)，
所以点P(1，3)． ……………………………… 4分
显然直线BC的斜率存在．设直线BC的方程为y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0)．
令y＝0得xB＝1－k3． ……………………………… 6分
由y＝－2xx－1，解得yC＝k＋26－2k． ……………………………… 8分
设△ABC的面积为S，则S＝21×xB×yC＝k2＋2k－k2＋6k－9＝－1＋k2＋2k8k－9． …………… 10分
令8k－9＝t，则t∈(－25，－9)，从而k＝8t＋9．
因此S＝－1＋8t＋98t＋98t＋9＝－1＋t2＋34t＋22564t＝－1＋t225t225．……… 13分
因为当t∈(－25，－9)时，t＋t225∈(－34，－30]，
当且仅当t＝－15时，此时AB＝5，34＋t＋t225的值为4．从而S有最小值为15．
答：当AB＝5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2．…………… 16分
（方法三）
如图2，过点P作PE⊥AM，PF⊥AN，垂足为E、F，连接PA．设AB＝x，AC＝y．
因为P到AM，AN的距离分别为3，，
即PE＝3，PF＝．
由S△ABC＝S△ABP＋S△APC
＝21×x×3＋21×y× ＝21(3x＋y)． ① …… 4分
因为tana＝－2，所以sina＝5252．
所以S△ABC＝21×x×y× 5252． ② ……………………………………… 8分
由①②可得21×x×y× 5252＝21(3x＋y)．
即3x＋5y＝2xy． ③ ………………………………………10分
因为3x＋5y≥2，所以 2xy≥2．
解得xy≥15． ………………………………………13分
当且仅当3x＝5y取“＝”，结合③解得x＝5，y＝3．
所以S△ABC＝21×x×y× 5252有最小值15．
答：当AB＝5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2．…………… 16分
20．（本小题满分16分）
解：（1）当a＝－1，x[0，＋∞)时，f(x)＝－x3＋x＋1，从而f ′(x)＝－3x2＋1．
当x＝1时，f(1)＝1，f ′(1)＝－2，
所以函数y＝f(x) (x[0，＋∞))的图象在x＝1处的切线方程为y－1＝－2(x－1)，
即2x＋y－3＝0． ………………………………………………… 3分
（2）f(x)＝g(x)即为ax3＋|x－a|＝x4．
所以x4－ax3＝|x－a|，从而x3(x－a)＝|x－a|．
此方程等价于x＝a或x＝1x＞a，或x＝－1．x＜a， ………………………………………… 6分
所以当a≥1时，方程f(x)＝g(x)有两个不同的解a，－1；
当－1＜a＜1时，方程f(x)＝g(x)有三个不同的解a，－1，1；
当a≤－1时，方程f(x)＝g(x)有两个不同的解a，1． ………………………… 9分
（3）当a＞0，x(a，＋∞)时，f(x)＝ax3＋x－a，f ′(x)＝3ax2＋1＞0，
所以函数f(x)在(a，＋∞)上是增函数，且f(x)＞f(a)＝a4＞0．
所以当x[a，a＋2]时，f(x)[f(a)，f(a＋2)]，x1024[a＋21024，a1024]，
当x[a＋2，＋∞)时，f(x)[ f(a＋2)，＋∞)． ………………………………… 11分
因为对任意的x1[a，a＋2]，都存在x2[a＋2，＋∞)，使得f(x1)f(x2)＝1024，
所以[a＋21024，a1024][ f(a＋2)，＋∞)． ……………………………………… 13分
从而a＋21024≥f(a＋2)．
所以f 2(a＋2)≤1024，即f(a＋2)≤32，也即a(a＋2)3＋2≤32．
因为a＞0，显然a＝1满足，而a≥2时，均不满足．
所以满足条件的正整数a的取值的集合为{1}． ……………………………… 16分
宿迁市三校2016届高三学情调研数学试卷及答案（附加题）
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．
A．选修4—1：几何证明选讲
证明：连接AO．设圆O的半径为r．
因为PA是圆O的切线，PBC是圆O的割线，
所以PA2＝PC·PB．……………………………… 3分
因为PA＝4，PC＝2，
所以42＝2×(2＋2r)，解得r＝3．……………… 5分
所以PO＝PC＋CO＝2＋3＝5，AO＝r＝3．
由PA是圆O的切线得PA⊥AO，故在Rt△APO中，
因为AQ⊥PO，由面积法可知，21×AQ×PO＝21×AP×AO，
即AQ＝POAP×AO＝54×3＝512． …………………… 10分
B．选修4—2：矩阵与变换
解：（1）因为矩阵A＝31属于特征值l的一个特征向量为α＝－1 1，
所以31－1 1＝l－1 1，即－22－b＝－ll． ……………………… 3分
从而－2＝－l．2－b＝l，解得b＝0，l＝2． ………………………… 5分
（2）由（1）知，A＝31．
设曲线C上任一点M(x，y)在矩阵A对应的变换作用后变为曲线C¢上一点P(x0，y0)，
则y0x0＝31yx＝x＋3y2x，
从而y0＝x＋3y．x0＝2x， …………………………… 7分
因为点P在曲线C¢上，所以x02＋2y02＝2，即(2x)2＋2(x＋3y)2＝2，
从而3x2＋6xy＋9y2＝1．
所以曲线C的方程为3x2＋6xy＋9y2＝1． ……………………………… 10分
C．选修4—4：坐标系与参数方程
解：（方法一）
直线l的普通方程为x－y＋＝0． …………………………………… 3分
因为点P在圆C上，故设P(＋cosθ，sinθ)，
从而点P到直线l的距离
d＝＝6π2|． …………………… 7分
所以dmin＝－1．
即点P到直线l的距离的最小值为－1． ……………………………… 10分
(方法二)
直线l的普通方程为x－y＋＝0． ……………………………… 3分
圆C的圆心坐标为(，0)，半径为1．
从而圆心C到直线l的距离为d＝＝． ………………………… 6分
所以点P到直线l的距离的最小值为－1． ………………………… 10分
D．选修4—5：不等式选讲
证明：因为a，b是正数，且a＋b＝1，
所以(ax＋by)(bx＋ay)＝abx2＋(a2＋b2)xy＋aby2
＝ab(x2＋y2)＋(a2＋b2)xy …………………………… 3分
≥ab×2xy＋(a2＋b2)xy ……………………………… 8分
＝(a＋b)2xy
＝xy
即(ax＋by)(bx＋ay)≥xy成立． ……………………………… 10分
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．
22．解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题设，知B(2，3，0)，A1(2，0，5)，C(0，3，0)，C1(0，3，5)．
因为→CE＝λ→CC1，所以E(0，3，5λ)．
从而→EB＝(2，0，－5λ)，→EA1＝(2，－3，5－5λ)．…… 2分
当∠BEA1为钝角时，cos∠BEA1＜0，
所以→EB·→EA1＜0，即2×2－5λ(5－5λ)＜0，
解得51＜λ＜54．
即实数λ的取值范围是(51，54)． …………………………………… 5分
（2）当λ＝52时，→EB＝(2，0，－2)，→EA1＝(2，－3，3)．
设平面BEA1的一个法向量为n1＝(x，y，z)，
由→EB→EA1＝0EA1 得2x－3y＋3z＝0，2x－2z＝0，
取x＝1，得y＝35，z＝1，
所以平面BEA1的一个法向量为n1＝(1，35，1)． ………………………………… 7分
易知，平面BA1B1的一个法向量为n2＝(1，0，0)．
因为cos< n1，n2>＝| n1|·| n2|n1·n2＝943943943＝4343，
从而|cosθ|＝4343． …………………………………… 10分
23．解：（1）因为P(X＝10)＝5252＝101，P(X＝5)＝315252＝103，
P(X＝2)＝325252＝103，P(X＝0) ＝315252＝103，
所以X的概率分布表为：
X
10
5
2
P
101
103
103
103
…………………………… 4分
从而E(X)＝10´101＋5´103＋2´103＋0´103＝3.1元． …………………………… 6分
（2）记该顾客一次摸球中奖为事件A，由（1）知，P(A)＝107，
从而他两次摸球中至少有一次中奖的概率P＝1－[1－P(A)]2＝10091．
答：他两次摸球中至少有一次中奖的概率为 10091． …………………………… 10分．
