江西三校2016届高三第一次联考数学(理)试题及答案
江西省三校（吉水中学、崇仁一中、南城一中）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x∈N|x2－2x≤0}，则满足A∪B＝{0，1，2}的集合B的个数为（）
A．3B．4C．7D．8
2.已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（）
A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限
3．执行如图1所示的程序框图，则输出的n值为（）
A．4B．5C．6D．7
4.已知正项等差数列满足，则的最小值为（）
A.1B.2C.2013D.2014
5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点（如图2），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）
A. B. C. D.
6.若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是()
A． B．(-1,0)C．(0,1) D．(1,2)
7.设则二项式的展开式的常数项是（）
A．12 B．6 C．4 D．1
8．设是的一个排列，把排在的左边且比小的数的个数为（=1，2，…，n）的顺序数，如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1,3的顺序数为0，则在1至8这8个数的排列中，8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为（）
A．48B．120C．144D．192
9.已知函数的图象过点，若有4个不同的正数满足，且，则等于（）
A．12B．20 C．12或20 D．无法确定
10．已知、、均为单位向量，且满足·=0，则（++）·（+）的值是（）
A．2+2 B．3+ C．2+ D．1+2
11.如图，已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，|F1F2|=2，P是双曲线右支上的一点，PF1⊥PF2，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆半径为，则双曲线的离心率是（）
A．B．C． D．
12.已知函数定义域为，且函数的图象关于直线对称，当时，，（其中是的导函数），若，则的大小关系是（）
A.B.C.D.
二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)
13．实数x，y满足如果目标函数z=x—y的最小值为-2，则实数m的值为。
14.已知，，若同时满足条件
①，或；②,.
则m的取值范围是______________.
15._____________________.
16.已知定义域为的函数满足：（1）对任意，恒有成立；（2）当时，.给出如下结论：①对任意，有；②函数的值域为；③存在，使得；④“函数在区间上单调递减”的充要条件是“存在，使得”.其中所有正确结论的序号是.
三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)
17.(本小题满分12分)已知集合
⑴能否相等？若能，求出实数的值，若不能，试说明理由？
⑵若命题命题且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18.(本小题满分12分)高考数学考试中共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且仅有一个是正确的。评分标准规定：“在每小题给出的上个选项中，只有一项是符合题目要求的，答对得5分，不答或答错得0分”。某考生每道选择都选出一个答案，能确定其中有8道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可判断出两个选项错误的，有一道题可能判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜。试求出该考生的选择题：
⑴得60分的概率；
⑵得多少分的概率？
19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥中，底面是矩形．已知．
⑴求异面直线与所成的角的余弦值；
⑵求二面角的正切值．
20.(本小题满分12分)已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中。如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆”与，轴的交点，
⑴若三角形是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
⑵若，求的取值范围；
⑶一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数，使得斜率为的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由。
21.(本小题满分12分)已知函数.
⑴求函数的最小值；
⑵若≥0对任意的恒成立，求实数的值；
⑶在（2）的条件下，证明：
请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．
22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图，直线为圆的切线，切点为，直径，连接
交于点.
⑴证明：；
⑵求证：．
23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为,过点(-2，-4)的直线的参数方程为（为参数），直线与曲线相交于两点．
⑴写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
⑵若，求的值．
24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知函数.
⑴求使不等式成立的的取值范围；
⑵，，求实数的取值范围．
江西三校2016届高三第一次联考数学(理)试题答案
一、选择题：共12小题，每小题5分，满分60分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
D
B
C
B
B
C
C
C
B
B
二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．
13.814．(-4,-2)15．16．①②④
三、解答题：共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.解析：(1)当时当时显然
故时，…………6分
（2）
当时，则解得
当时，则
综上是的充分不必要条件，实数的取值范围是或…………12分
18．解析：（1）要得60分，必须12道选择题全答对
依题意，易知在其余的四道题中，有两道题答对的概率各为，有一道题答对的概率为，还有一道题答对的概率为，所以他做选择题得60分的概率为：
…………5分
（2）依题意，该考生选择题得分的可能取值有：40，45，50，55，60共五种
得分为40，表示只做对有把握的那8道题，其余各题都做错，于是其概率为：
类似的，可知得分为45分的概率：
得分为50的概率：得分为55的概率：
得分为60的概率：
该生选择题得分为45分或50分的可能性。-------------------12分
19．解析：（Ⅰ）在中，由题设可得
于是.在矩形中，.又，
所以平面．
由题设，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角.
在中，由余弦定理得
由平面，平面，
所以，因而，于是是直角三角形，故．
所以异面直线与所成的角的余弦值为．…………6分
（Ⅱ）过点P做于H，过点H做于E，连结PE
因为平面，平面，所以.又，
因而平面，故HE为PE再平面ABCD内的射影.由三垂线定理可知，
，从而是二面角的平面角。
由题设可得，
于是再中，
所以二面角的正切值为．…………12分
（用空间向量坐标法或其它方法，可以相应给分）
20．解析：⑴，
，
于是，所求“果圆”方程为，…………4分
⑵由题意，得，即．
，，得．
又．．…………7分
⑶设“果圆”的方程为，．
记平行弦的斜率为．
当时，直线与半椭圆的交点是
，与半椭圆的交点是．
的中点满足得．
，．
综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．
当时，以为斜率过的直线与半椭圆的交点是．
由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上．
当时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．…………12分
21．解析：（1）由题意，
由得.
当时,；当时，.
∴在单调递减，在单调递增.
即在处取得极小值，且为最小值，
其最小值为………………4分
（2）对任意的恒成立，即在上，.
由（1），设，所以.
由得.
易知在区间上单调递增，在区间上单调递减，
∴在处取得值，而.
因此的解为，∴. ………………8分
（3）由（2）知，对任意实数均有，即.
令，则.
∴.
∴
.……………………12分
22．证明：(1)∵直线PA为圆O的切线,切点为A
∴∠PAB=∠ACB…………………………………………2分
∵BC为圆O的直径，∴∠BAC=90°
∴∠ACB=90°-B
∵OB⊥OP,∴∠BDO=90°-B……………………………4分
又∠BDO=∠PDA,∴∠PAD=∠PDA=90°-B
∴PA=PD…………………………………………………5分
(2)连接OA,由(1)得∠PAD=∠PDA=∠ACO
∵∠OAC=∠ACO
∴ΔPAD∽ΔOCA………………………………………8分
∴OCPA=ACAD∴PA×AC=AD×OC………………………………………10分
23.解析：(1)由ρsin2θ=2acosθ(a>0)得ρ2sin2θ=2aρcosθ(a>0)
∴曲线C的直角坐标方程为y2=2ax(a>0)………………………2分
直线l的普通方程为y=x-2…………………………………4分
(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=2ax中，
得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0
设A、B两点对应的参数分别为t1、t2
则有t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)……………………………6分
∵|PA|×|PB|=|AB|2
∴t1t2=(t1-t2)2,即(t1+t2)2=5t1t2………………………………8分
∴2=40(4+a)a2+3a-4=0
解之得：a=1或a=-4(舍去)
∴a的值为1…………………………………………………10分
24.解析：(1)由绝对值的几何意义可知x的取值范围为（-2，4）………5分
（Ⅱ）x0ÎR,f(x0)f(x)min……………………………………7分
由绝对值的几何意义知：|x－3|＋|x＋1|可看成数轴上到3和-1对应点的距离和.
∴f(x)min=4…………………………………………………9分
∴a>4
所求a的取值范围为(4,+∞)…………………………………………10分
