山西2016届高三第一次联考理科数学试题及答案
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）
1.已知i是虚数单位，则复数
的值为
A． B. C . 1 D．
2.已知全集为R，集合M=,集合N=,则
A．（3,5） B. [3,5） C.（1,3） D.(1,3 ]
3.已知抛物线的准线与圆相切，则的值为
A．2 B．3 C．4 D．5
4．执行如图所示的程序框图,输出的S值为
A．4B．8C．16D．64
5.下列四个选项中错误的是
A.命题“若则”的逆否命题是“若则”.
B.若为真命题，则为真命题.
C.若命题则.
D. “”是“”成立的必要不充分条件.
6.已知，则
A. B. C. D.
7.设，则二项式的展开式中的系数为
A. 40 B. 40C. 80 D. 80
8．某几何体的三视图如图示，则此几何体的体积是
A． B．C． D．
9．函数的图像与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数的图像，只需将函数的图像
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
10．一盒中有白、黑、红三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为
A. B. C. D.
11.在中,角所对的边分别为表示的面积，若，，则=
A． B． C． D．
12. 已知定义在R上的奇函数，其导函数为，当时，恒有.若,则满足的实数的取值范围是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 90分）
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)
13. 若是两个不共线的单位向量，若与垂直，则实数= ．
14．设变量，满足则变量的值为 ．
15. 三棱锥的四个顶点均在同一球面上，其中△为等边三角形，
平面，,则该球的体积是 ．
16. 若对于曲线（为自然数对数的底数）的任意切线，总存在曲线的切线，使得，则实数的取值范围为 ．
三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)
17. (本小题满分12分)已知数列的前项和满足：且
（1）求数列的通项公式;
（2）记，求数列的前项和.[来源:Zxxk.Com]
18．(本小题满分12分) 如图，三棱柱中，
⊥面， ,,,为的中点.
（1）求证： 面；
（2）求二面角的余弦值.
19. (本小题满分12分) 在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获得抽奖的机会。抽奖规则
如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元，再从余下的4人中随机抽取1人
获奖600元，最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元。
（1）求甲和乙都不获奖的概率；
（2）设X是甲获奖的金额，求X的分布列和数学期望.
20.（本小题满分12分）已知椭圆的右焦点是抛物线的焦点，过点垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长度为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点．请问：在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
21.（本小题满分12分）设函数，其中.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若，成立，求的取值范围.
请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．
22.(选修4—1几何证明选讲) （本小题满分分）
如图，过圆外一点P的直线交圆O于A、B两点,PE是圆的切线，CP平分∠，分别与AE、BE交于点.
求证：(1) ； （2）
23.选修4─4：坐标系与参数方程选讲．（本小题满分分）
设平面直角坐标系原点与极坐标极点重合，轴正半轴与极轴重合，若已知曲线C的极坐标方程为，点F1、F2为其左、右焦点，直线的参数方程为
(为参数，).
（1）求直线的普通方程和曲线C的参数方程；
（2）求曲线C上的点到直线的距离.]
24.选修4—5;不等式选讲.（本小题满分分）设函数
（1）求不等式的解集；
（2）若的定义域为R,求实数的取值范围.
山西2016届高三第一次联考理科数学试题及答案
1-6.ADADDB 7-12. DCCABB
13. 1 14. 15. 16.
17解:(1) 由且，得，解得
故 2分
当n=1时， 3分
当时， 5分
且当n=1时上式仍成立， 6分
（2） 9分
12分
18.解: （Ⅰ）证明：依题可建立如图的空间直角坐标系，………1分
则C1（0，0，0），B（0，3，2），B1（0，0，2），
C（0，3，0），A（2，3，0）， D（1，3，0），
设是面BDC1的一个法向量，则
即，取.
又,所以,即
∵AB 1面BDC 1，∴AB1//面BDC1． …………6分
（Ⅱ）易知是面ABC的一个法向量.
. …………11分
∴二面角C1—BD—C的余弦值为. …………12分
19、（满分12分）
解：（Ⅰ）设“甲和乙都不获奖”为事件A , ………………………………1分
则P（A）=，
答：甲和乙都不获奖的概率为. ……………………………………5分
（Ⅱ）X的所有可能的取值为0，400，600，1000，…………………………………6分
P(X=0)=,
P(X=400)= ,
P(X=600)= ,
P(X=1000)= , …………………………………………10分
∴X的分布列为
X
400
600
1000
P
11分
12分
20.解析: （Ⅰ）抛物线的焦点坐标为(1,0)，则椭圆C过点
则解得（4分）
（Ⅱ）假设在x轴上存在定点满足条件，设，则
由,得.
∴,即，. 6分
此时,∴（8分）
,,
=，10分
.
∴存在点,使得. （12分）
21.解：（Ⅰ）当时，，1分
在和上单调增，在上单调减 3分
4分
（Ⅱ）设函数，，都有成立.
即
当时，恒成立；
当时，，；
当时，，；由均有成立。
故当时，，，则只需；
当时，，则需，即.综上可知对于，都有成立，只需即可，故所求的取值范围是.
12分
另解：设函数，，要使，都有成立，只需函数函数在上单调递增即可，
于是只需，成立，
当时，令，，
则；当时；当，，
令，关于单调递增，则，则,于是.
又当时，，所以函数在单调递减，而，
则当时，，不符合题意；
当时，设，当时，
在单调递增，因此当时，
于是，当时，
此时，不符合题意.
综上所述，的取值范围是 12分
22.证明：（1）是切线，
平分
（2）
相似于
同理，相似于
23.（1）(为参数). 5分
（2）设点p的坐标是
则
10分
24.解:(1)由 ，，，
解集为： 5分
(2)由的定义域为知;
对任意实数x,有恒成立
因为,所以 10分
