小升初数学试卷及答案：能力测试题

　　1.的数学家斯蒂芬 巴纳赫于1945年8月31日去世，他在世时的某年的年龄恰好是该年份的算术平方根(该年的年份是他该年年龄的平方数).则他出生的年份是 _____ ，他去世时的年龄是 ______ .

　　【答案】1892年;53岁。

　　【解】 首先找出在小于1945，大于1845的完全平方数，有1936=442，1849=432，显然只有1936符合实际，所以斯蒂芬 巴纳赫在1936年为44岁.那么他出生的年份为1936-44=1892年.他去世的年龄为1945-1892=53岁.

　　【提示】要点是：确定范围，另外要注意的“潜台词”：年份与相应年龄对应，则有年份-年龄=出生年份。

　　2.某小学即将开运动会，一共有十项比赛，每位同学可以任报两项，那么要有 ___ 人报名参加运动会，才能保证有两名或两名以上的同学报名参加的比赛项目相同.

　　【答案】46

　　【解】 十项比赛，每位同学可以任报两项，那么有 =45种不同的报名方法.那么，由抽屉原理知为 45+1=46人报名时满足题意.

　　3.如图，ABCD是矩形，BC=6cm，AB=10cm，AC和BD是对角线，图中的阴影部分以CD为轴旋转一周，则阴影部分扫过的立体的体积是多少立方厘米?(π=3.14)

　　【答案】565.2立方厘米

　　【解】设三角形BOC以CD为轴旋转一周所得到的立体的体积是S，S等于高为10厘米，底面半径是6厘米的圆锥的体积减去2个高为5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积减去2个高为5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积。即：

　　S= ×62×10×π-2× ×32×5×π=90π，2S=180π=565.2(立方厘米)

　　【提示】S也可以看做一个高为5厘米，上、下底面半径是3、6厘米的圆台的体积减去一个高为5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积。

　　4.如图，点B是线段AD的中点，由A，B，C，D四个点所构成的所有线段的长度均为整数，若这些线段的长度的积为10500，则线段AB的长度是______。

　　【答案】5

　　【解】由A，B，C，D四个点所构成的线段有：AB，AC，AD，BC，BD和CD，由于点B是线段AD的中点，可以设线段AB和BD的长是x，AD=2x，因此在乘积中一定有x3。

　　对10500做质因数分解：10500=22×3×53×7，

　　所以，x=5,AB×BD×AD=53×2,AC×BC×CD=2×3×7,所以，AC=7，BC=2,CD=3,AD=10.

　　5.甲乙两地相距60公里，自行车和摩托车同时从甲地驶向乙地.摩托车比自行车早到4小时，已知摩托车的速度是自行车的3倍，则摩托车的速度是 ______ .

　　【答案】30公里/小时

　　【解】 记摩托车到达乙地所需时间为“1”，则自行车所需时间为“3”，有4小时对应“3”-“1”=“2”，所以摩托车到乙地所需时间为4÷2=2小时.摩托车的速度为60÷2=30公里/小时.

　　【提示】这是最本质的行程中比例关系的应用，注意份数对应思想。

　　6. 一辆汽车把货物从城市运往山区，往返共用了20小时，去时所用时间是回来的1.5倍，去时每小时比回来时慢12公里.这辆汽车往返共行驶了 _____ 公里.

　　【答案】576

　　【解】 记去时时间为“1.5”，那么回来的时间为“1”.

　　所以回来时间为20÷(1.5+1)=8小时，则去时时间为1.5×8=12小时.

　　根据反比关系，往返时间比为1.5︰1=3︰2,则往返速度为2：3,

　　按比例分配，知道去的速度为12÷(3-2)×2=24(千米)所以往返路程为24×12×2=576(千米)。

　　7. 有70个数排成一排，除两头两个数外，每个数的3倍恰好等于它两边两个数之和.已知前两个数是0和1，则最后一个数除以6的余数是 ______ .

　　【答案】4

　　【解】 显然我们只关系除以6的余数，有0，1，3，2，3，1，0，5，3，，3，5，0，1，3，……

　　有从第1数开始，每12个数对于6的余数一循环，因为70÷12=5……10，所以第70个数除以6的余数为循环中的第10个数，即4.

　　【提示】找规律，原始数据的生成也是关键，细节决定成败。

　　8. 老师在黑板上写了一个自然数。第一个同学说：“这个数是2的倍数。”第二个同学说：“这个数是3的倍数。”第三个同学说：“这个数是4的倍数。”……第十四个同学说：“这个数是15的倍数。”最后，老师说：“在所有14个陈述中，只有两个连续的陈述是错误的。”老师写出的最小的自然数是 。

　　【答案】60060

　　【解】2，3，4，5，6，7的2倍是4，6，8，10，12，14，如果这个数不是2，3，4，5，6，7的倍数，那么这个数也不是 4，6，8，10，12，14的倍数，错误的陈述不是连续的，与题意不符。所以这个数是2，3，4，5，6，7的倍数。由此推知，这个数也是 (2×5=)10，(3×4=)12，(2×7)14，(3×5=)15的倍数。在剩下的8,9,11,13中，只有8和9是连续的，所以这个数不是8和 9的倍数。2，3，4，5，6，7，10，11，12，，13，14，15的最小公倍数是22×3×5×7×11×13=60060。

　　9. 小王和小李平时酷爱打牌，而且推理能力都很强。一天，他们和华教授围着桌子打牌，华教授给他们出了道推理题。华教授从桌子上抽取了如下18张扑克牌：

　　红桃A，Q，4 黑桃J，8，4，2，7，3，5

　　草花K，Q，9，4，6，lO 方块A，9

　　华教授从这18张牌中挑出一张牌来，并把这张牌的点数告诉小王，把这张牌的花色告诉小李。然后，华教授问小王和小李，“你们能从已知的点数或花色中推断出这张牌是什么牌吗?

　　小王：“我不知道这张牌。”

　　小李：“我知道你不知道这张牌。”

　　小王：“现在我知道这张牌了。”

　　小李：“我也知道了。”

　　请问：这张牌是什么牌?

　　【答案】方块9。

　　【解】小王知道这张牌的点数，小王说：“我不知道这张牌”，说明这张牌的点数只能是A，Q，4，9中的一个，因为其它的点数都只有一张牌。

　　如果这张牌的点数不是A，Q，4，9，那么小王就知道这张牌了，因为A，Q，4，9以外的点数全部在黑桃与草花中，如果这张牌是黑桃或草花，小王就有可能知道这张牌，所以小李说：“我知道你不知道这张牌”，说明这张牌的花色是红桃或方块。现在的问题集中在红桃和方块的5张牌上。因为小王知道这张牌的点数，小王说：“现在我知道这张牌了”，说明这张牌的点数不是A，否则小王还是判断不出是红桃A还是方块A。 因为小李知道这张牌的花色，小李说：“我也知道了”，说明这张牌是方块9。否则，花色是红桃的话，小李判断不出是红桃Q还是红桃4。

　　【提示】在逻辑推理中，要注意一个命题真时指向一个结论，而其逆命题也是明确的结论。

　　10.从1到100的自然数中，每次取出2个数，要使它们的和大于100，则共有 _____ 种取法.

　　【答案】2500

　　【解】 设选有a、b两个数，且a

　　当a为1时，b只能为100，1种取法;

　　当a为2时，b可以为99、100，2种取法;

　　当a为3时，b可以为98、99、100，3种取法;

　　当a为4时，b可以为97、98、99、100，4种取法;

　　当a为5时，b可以为96、97、98、99、100，5种取法;

　　…… …… ……

　　当a为50时，b可以为51、52、53、…、99、100，50种取法;

　　当a为51时，b可以为52、53、…、99、100，49种取法;

　　当a为52时，b可以为53、…、99、100，48种取法;

　　…… …… ……

　　当a为99时，b可以为100，1种取法.

　　所以共有1+2+3+4+5+…+49+50+49+48+…+2+1=502=2500种取法.

　　【拓展】从1-100中，取两个不同的数，使其和是9的倍数，有多少种不同的取法?

　　【解】从除以9的余数考虑，可知两个不同的数除以9的余数之和为9。通过计算，易知除以9余1的有12种，余数为2-8的为11种，余数为0的有 11种，但其中有11个不满足题意：如9+9、18+18……，要减掉11。而余数为1的是12种，多了11种。这样，可以看成，1-100种，每个数都对应11种情况。

　　11×100÷2=550种。除以2是因为1+8和8+1是相同的情况。

　　11. 已知三位数的各位数字之积等于10，则这样的三位数的个数是 _____ 个.

　　【答案】6

　　【解】 因为10=2×5，所以这些三位数只能由1、2、5组成，于是共有 =6个.

　　12. 下图中有五个三角形，每个小三角形中的三个数的和都等于50，其中A7=25，A1+A2+A3+A4=74，A9+A3+A5+A10=76，那么A2与A5的和是多少?

　　【答案】25

　　【解】有A1+A2+A8=50，A9+A2+A3=50，A4+A3+A5=50，A10+A5+A6=50，A7+A8+A6=50，

　　于是有A1+A2+A8+A9+A2+A3+A4+A3+A5+A10+A5+A6+A7+A8+A6=250，

　　即(A1+A2+A3+A4)+(A9+A3+A5+A10)+A2+A5+2A6+2A8+ A7=250.

　　有74+76+A2+A5+2(A6+A8) + A7=250，而三角形A6A7A8中有A6+A7+A8=50，其中A7=25，所以A6+A8=50-25=25.

　　那么有A2+A5=250-74-76-50-25=25.

　　【提示】上面的推导完全正确，但我们缺乏方向感和总体把握性。

　　其实，我们看到这样的数阵，第一感觉是看到这里5个50并不表示10个数之和，而是这10个数再加上内圈5个数的和。这一点是最明显的感觉，也是重要的等量关系。再“看问题定方向”，要求第2个数和第5个数的和，说明跟内圈另外三个数有关系，而其中第6个数和第8个数的和是50-25=25,再看第 3个数，在加两条直线第1、2、3、4个数和第9、3、5、10个数时，重复算到第3个数，

　　好戏开演：74+76+50+25+第2个数+第5个数=50×5

　　所以 第2个数+第5个数=25