中考数学模拟练习题及答案(11)

　　B级　中等题13.(2012年黑龙江)在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠PEF=30°，则∠PFE的度数是()A.15° B.20° C.25° D.30°14.(2012年黑龙江绥化)直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B，D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为________(提示：∠EAD+∠FAB=90°).参考答案：13.D　14.13C级　拔尖题15.(2013年山东东营) (1)如图4­2­25(1)，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m, CE⊥直线m，垂足分别为点D，E.证明：DE=BD+CE;(2)如图4­2­25(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，点D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?若成立，请你给出证明;若不成立，请说明理由;(3) 拓展与应用：如图4­2­25(3)，点D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点(D，A，E三点互不重合)，点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状.参考答案：15.证明：(1)∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA=∠CEA=90°.∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°.∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD.又AB=AC，∴△ADB≌△CEA.∴AE=BD，AD=CE.∴DE=AE+AD=BD+CE.(2)成立.∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α.∴∠DBA=∠CAE.∵∠BDA=∠AEC=α，AB=AC，∴△ADB≌△CEA.∴AE=BD，AD=CE.∴DE=AE+AD=BD+CE.(3)由(2)知，△ADB≌△CEA，则BD=AE，∠DBA=∠EAC.∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°.∴∠DBA+∠ABF=∠EAC+∠CAF.∴∠DBF=∠EAF.∵BF=AF，BD=AE，∴△DBF≌△EAF.∴DF=EF，∠BFD=∠AFE.∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°.∴△DEF为等边三角形.