1.(2013年四川宜宾)矩形具有而菱形不具有的性质是()
A.两组对边分别平行 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.两组对角分别相等
2.(2013年四川巴中)如图4335,菱形ABCD的两条对角线相交于点O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是()
A.24 B.16 C.4 13 D.2 13
3.(2013年海南)将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是()
A.AB=BC B.AC=BC C.∠B=60° D.∠ACB=60°
4.年内蒙古赤峰)如图4×4的方格中每个小正方形的边长都是1,则S四边形ABDC与S四边形ECDF的大小关系是()
A.S四边形ABDC=S四边形ECDF B.S四边形ABDC < S四边形ECDF
C.S四边形ABDC=S四边形ECDF+1 D.S四边形ABDC=S四边形ECDF+2
5.(2013年四川凉山州菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为()
A.14 B.15 C.16 D.17
6.(2013年湖南邵阳)将△ABC绕AC的中点O按顺时针旋转180°得到△CDA,添加一个条件____________,使四边形ABCD为矩形.
7.(2013年宁夏)在矩形ABCD中,点E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE,垂足为F.
求证:DF=DC.
8.在△ABC中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=8 cm.将△ABC沿射线BC方向平移10 cm,得到△DEF,A,B,C的对应点分别是D,E,F,连接AD.求证:四边形ACFD是菱形.
9.(2013年辽宁铁岭)在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,点O为AB的中点,连接DO并延长到点E,使OE=OD,连接AE,BE.
(1)求证:四边形AEBD是矩形;
(2)当△ABC满足什么条件时,矩形AEBD是正方形,并说明理由.
B级 中等题
10.(2013年四川南充)把矩形ABCD沿EF翻折,点B恰好落在AD边的B′处,若AE=2,DE=6,∠EFB=60°,则矩形ABCD的面积是()
A.12 B. 24 C. 12 3 D. 16 3
11.(2013年内蒙古呼和浩特)在四边形ABCD中,对角线 AC⊥BD,垂足为O,点E,F,G,H分别为边AD,AB,BC,CD的中点.若AC=8,BD=6,则四边形EFGH 的面积为________.
12.(2013年福建莆田)正方形ABCD的边长为4,点P在DC边上,且DP=1,点Q是 AC上一动点,则DQ+PQ的最小值为____________.
13.(2013年山东青岛)已知:在矩形ABCD中,M,N分别是边AD,BC的中点,E,F分别是线段BM,CM的中点.
(1)求证:△ABM≌△DCM;
(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形,并证明你的结论;
(3)当AD∶AB=__________时,四边形MENF是正方形(只写结论,不需证明).
C级 拔尖题
14.(2013年内蒙古赤峰)如图4347,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60 cm,∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D,E运动的时间是t s(0 < t ≤ 15).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF.
(1)求证:AE=DF;
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,请说明理由;
(3)当t为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由.
特殊的平行四边形1.B 2.C 3.B 4.A 5.C
6.∠B=90°或∠BAC+∠BCA=90°
7.证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,AD∥BC,∠B=90°.
∵DF⊥AE,∴∠AFD=∠B=90°.
∵AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB.
又∵AD=AE,∴△ADF≌△EAB.
∴DF=AB.∴DF=DC.
8.证明:由平移变换的性质,得
CF=AD=10 cm,DF=AC,
∵∠B=90°,AB=6 cm,BC=8 cm,
∴AC2=AB2+CB2,即AC=10 cm.
∴AC=DF=AD=CF=10 cm.
∴四边形ACFD是菱形.
9.(1)证明:∵点O为AB的中点,OE=OD,
∴四边形AEBD是平行四边形.
∵AB=AC,AD是△ABC的角平分线,
∴AD⊥BC.即∠ADB=90°.
∴四边形AEBD是矩形.
(2)解:当△ABC是等腰直角三角形时,
矩形AEBD是正方形.
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠BAD=∠CAD=∠DBA=45°.∴BD=AD.
由(1)知四边形AEBD是矩形,
∴四边形AEBD是正方形.
10.D 11.12
12.5 解析:连接BP,交AC于点Q,连接QD.∵点B与点D关于AC对称,∴BP的长即为PQ+DQ的最小值,
∵CB=4,DP=1.∴CP=3,在Rt△BCP中,
BP=BC2+CP2=42+32=5.
13.(1)证明:在矩形ABCD中,
AB=CD,∠A=∠D=90°,
又∵M是AD的中点,∴AM=DM.
∴△ABM≌△DCM(SAS).
(2)解:四边形MENF是菱形.证明如下:
E,F,N分别是BM,CM,CB的中点,
∴NE∥MF,NE=MF.
∴四边形MENF是平行四边形.
由(1),得BM=CM,∴ME=MF.
∴四边形MENF是菱形.
(3)2∶1 解析:当AD∶AB=2∶1时,四边形MENF是正方形.理由:
∵M为AD中点,∴AD=2AM.
∵AD∶AB=2∶1,∴AM=AB.
∵∠A=90,∴∠ABM=∠AMB=45°.
同理∠DMC=45°,∴∠EMF=180°-45°-45°=90°.
∵四边形MENF是菱形,∴菱形MENF是正方形.
14.解:(1)在△DFC中,∠DFC=90°,∠C=30°,DC=4t,
∴DF=2t,又∵AE=2t,∴AE=DF.
(2)能.理由如下:
∵AB⊥BC,DF⊥BC,∴AE∥DF.
又∵AE=DF,∴四边形AEFD为平行四边形.
当AE=AD时,四边形AEFD是菱形,即60-4t=2t.
解得t=10 s,
∴当t=10 s时,四边形AEFD为菱形.
(3)①当∠DEF=90°时,由(2)知EF∥AD,
∴∠ADE=∠DEF=90°.
∵∠A=60°,∴AD=AE•cos60°=t.
又AD=60-4t,即60-4t=t,解得t=12 s.
②当∠EDF=90°时,四边形EBFD为矩形.
在Rt△AED中,∠A=60°,则∠ADE=30°.
∴AD=2AE,即60-4t=4t,解得t=152 s.
③若∠EFD=90°,则E与B重合,D与A重合,此种情况不存在.
综上所述,当t=152 s或t=12 s时,△DEF为直角三角形.