2016年陕西高考数学专练练习:导数的简单应用
一、选择题
1.下列各坐标系中是一个函数与其导函数的图象，其中一定错误的是()
答案：C 命题立意：本题考查导数在研究函数单调性上的应用，难度中等.
解题思路：依次判断各个选项，易知选项C中两图象在第一象限部分，不论哪一个作为导函数的图象，其值均为正值，故相应函数应为增函数，但相反另一函数图象不符合单调性，即C选项一定不正确.
2.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(e)+ln x，则f′(e)=()
A.1B.-1 C.-e-1D.-e
答案：C 命题立意：本题考查函数的导数的求法与赋值法，难度中等.
解题思路：依题意得，f′(x)=2f′(e)+，取x=e得f′(e)=2f′(e)+，由此解得f′(e)=-=-e-1，故选C.
3.已知函数y=f(x)的图象如图所示，则其导函数y=f′(x)的图象可能是()
ABCD
答案：A 命题立意：本题考查函数的性质，难度较小.
解题思路：函数f(x)的图象自左向右看，在y轴左侧，依次是增、减、增;在(0，+∞)上是减函数.因此，f′(x)的值在y轴左侧，依次是正、负、正，在(0，+∞)上的取值恒非正，故选A.
4.已知f′(x)是定义在R上的函数f(x)的导函数，且f(x)=f(5-x)，f′(x)a>b B.c>b>a
C.a>b>c D.a>c>b
答案：C 思路点拨：令函数F(x)=xf(x)，则函数F(x)=xf(x)为偶函数.当x>0时，F′(x)=f(x)+xf′(x)>0，此时函数F(x)在(0，+∞)上单调递增，则a=F(log4)=F(-log24)=F(-2)=F(2)，b=F()，c=F=F(-lg 5)=F(lg 5)，因为0b>c，故选C.
9.在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f(x)=ex(x>0)的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N.设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的值是()
A. B.
C.e+ D.e-
答案：A
解题思路：二、填空题
10.已知函数f(x)=ex-ae-x，若f′(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________.
答案：[3，+∞) 命题立意：本题考查导数的运算及不等式恒成立一类问题的解答方法，正确地分离变量是解答本题的关键，难度中等.
解题思路：据题意有f′(x)=ex+ae-x≥2，分离变量得a≥(2-ex)ex=-(ex-)2+3，由于(2-ex)ex=-(ex-)2+3≤3，故若使不等式恒成立，只需a≥3即可.
11.已知aR，函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数是偶函数，则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为________.
答案：3x+y=0 命题立意：本题主要考查导数的求法、奇偶性的定义、导数的几何意义与直线的方程等基础知识，意在考查考生的基本运算能力.
解题思路：依题意得，f′(x)=3x2+2ax+(a-3)是偶函数，则2a=0，即a=0，f′(x)=3x2-3，f′(0)=-3，因此曲线y=f(x)在原点处的切线方程是y=-3x，即3x+y=0.
12.已知函数f(x)=axsin x-(aR)，若对x，f(x)的值为，则
(1)a的值为________;
(2)函数f(x)在(0，π)内的零点个数为________.
答案：(1)1 (2)2 命题立意：本题考查导数的应用以及函数零点，难度中等.
解题思路：利用导数确定函数单调性，再利用数形结合求零点个数.因为f′(x)=a(sin x+xcos x)，当a≤0时，f(x)在x上单调递减，值f(0)=-，不适合题意，所以a>0，此时f(x)在x上单调递增，值f=a-=，解得a=1，符合题意，故a=1.f(x)=xsin x-在x(0，π)上的零点个数即为函数y=sin x，y=的图象在x(0，π)上的交点个数，又x=时，sin =1>>0，所以两图象在x(0，π)内有2个交点，即f(x)=xsin x-在x(0，π)上的零点个数是2.
13.已知{an}是正数组成的数列，a1=1，且点(，an+1)(nN*)在函数y=x3+x的导函数的图象上.数列{bn}满足bn=(nN*).则数列{bn}的前n项和Sn为________.
答案： 命题立意：本题主要考查多项式函数的求导方法，等差数列的概念、通项公式以及数列求和方法等基础知识，考查学生的运算能力和综合运用知识分析、解决问题的能力.
解题思路：由已知得an+1=an+1， 数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列， an=n，bn===-(nN*)，Sn=1-+-+…+-=1-=(nN*).
B组
一、选择题
1.已知曲线f(x)=ln x在点(x0，f(x0))处的切线经过点(0，-1)，则x0的值为()
A. B.1 C.e D.10
答案：B 命题立意：本题主要考查导数的几何意义、直线的方程等基础知识，意在考查考生的基本运算能力.
解题思路：依题意得，题中的切线方程是y-ln x0=(x-x0);又该切线经过点(0，-1)，于是有-1-ln x0=(-x0)，由此得ln x0=0，x0=1，故选B.
2.已知函数f(x)=+1，g(x)=aln x，若在x=处函数f(x)与g(x)的图象的切线平行，则实数a的值为()
A. B.
C.1 D.4
答案：A 命题立意：本题主要考查导数的概念与曲线切线的求解，考查思维的严谨性，应注意检验.
解题思路：由题意可知f′(x)=x，g′(x)=，由f′=g′，得=，可得a=，经检验，a=满足题意.
3.若函数f(x)=-x2+bln(x+2)在[-1，+∞)上是减函数，则b的取值范围是()
A.[-1，+∞) B.(-1，+∞)
C.(-∞，-1] D.(-∞，-1)
答案：C 解题思路：函数f(x)的导数f′(x)=-x+，要使函数f(x)在[-1，+∞)上是减函数，则f′(x)=-x+≤0在[-1，+∞)上恒成立，即≤x在[-1，+∞)上恒成立，因为x≥-1，所以x+2≥1>0，即b≤x(x+2)在[-1，+∞)上恒成立.设y=x(x+2)，则y=x2+2x=(x+1)2-1，因为x≥-1，所以y≥-1，所以要使b≤x(x+2)在[-1，+∞)上恒成立，则有b≤-1，故选C.
4.如图是函数f(x)=x2+ax+b的部分图象，函数g(x)=ex-f′(x)的零点所在的区间是(k，k+1)(kZ)，则k的值为()
A.-1或0 B.0
C.-1或1 D.0或1
答案：C 解题思路：由二次函数f(x)的图象及函数f(x)两个零点的位置可知其对称轴x=-，解得10，g(0)=1-a0)上任意一点处的切线斜率为k，若k的最小值为4，则此时该切点坐标为()
A.(1,1) B.(2,3)
C.(3,1) D.(1,4)
答案：A 命题立意：本题考查导数的几何意义和基本不等式等相关知识.根据函数的导数取得的最小值可以求出a，以及取得最小值时的条件，这个条件就是所求的值.运用导数知识解决相应的几何切线问题是新课标高考考查的热点，导数不仅在选择题、填空题中经常考查，在解答题中也常和函数的单调性、极值等问题一起出现.
解题思路：y=x2+aln x的定义域为(0，+∞)，由导数的几何意义知y′=2x+≥2=4，解得a=2，等号成立的条件是x=1，代入曲线方程得y=1，故所求的切点坐标是(1,1).
7.如图是二次函数f(x)=x2-bx+a的部分图象，则函数g(x)=ln x+f′(x)的零点所在的区间是()
A.
B.
C.(1,2)
D.(2,3)
答案：B 解题思路：因为f(1)=0，则b=a+1，又f(0)=a，且00，g=ln +1-b
