一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1.已知集合 ，集合 ，则 ( )
A.[-1，0] B.[0，1] C.[0，2] D.[-1，1]
2.已知 ，若Z为实数，则正整数n的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.设 ( )
A. B. C. D.
4.下列命题正确的个数有( )
(1)存在 ，使得
(2)“ ”是“ ”的充要条件
(3)若 ，则
(4)若函数 在 有极值 ，
则
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.已知某种程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是( )
A. B.
C. D.
6.在集合 的所有非空子集中，任取一个集合 ，恰好满足条件“若 ，则 ”的概率是( )
A. B. C. D.
7.已知下面正三棱柱的俯视图如右图所示，则这个三棱柱外接球的体积为( )
A.28 B. C. D.
8.向边长为2米的正方形木框ABCD内随机投掷一粒绿豆，记绿豆落在P点，则
∠DPC∈(0， )的概率为( )
A. 1- B.1- C. D.
9.双曲线C的左、右焦点分别为 恰 为抛物线 的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若 是以A 为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.
10.若非零向量 满足 ，则( )
A. B. C. D.
11.已知函数 有4个零点 ，且 ，则
( )
A.0 B.1 C.2 D.32
12.已知数列 是等差数列，且 ， ， ，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.使 的展开式中系数大于200的项共有 项.
14.设椭圆 的左焦点为 ，右焦点为 ,以 为直径的圆与椭圆在 轴上方部分交于点 ，则 = .
15.在 中，内角A、B、C的对边分别是 ，若 ，且 ，则 _____________。
16. 气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的平均温度均不低于22 ”，现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数)
(1)甲地：5个数据的中位数为24，众数为22
(2)乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24
(3)丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8，则肯定进入夏季的地区是 .
三、解答题(本大题共5小题，每小题12分，共60分，解答应写出文明说明、证明过程或演算步骤。)
17.已知 ， ，其中 ，若函数 ，且 的对称中心到 对称轴的最近距离不小于 。
(1)求 的取值范围。
(2)在 中， 分别是角A、B、C的对边，且 ，当 取值时， ，求 的面积。
18.某工厂生产A、B两种型号的玩具，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于83为正品，小于83为次品，现随机取这两种玩具进行检测，检测结果统计如下：
测试指标 [70，76) [76，83) [83，88) [88，94) [94，100)
玩具A(件)
8
12
40
32
8
玩具B(件) 7 18 40 29 6
(1)试分别估计玩具A为正品的概率和玩具B为正品的概率;
(2)生产1件玩具A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元;生产1件玩具B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元，在(1)的前提下，
(i)记 为生产1件玩具A和1件玩具B所得的总利润，求随机变量 的分布列和数学期望;
(ii)求生产5件玩具B所获得的利润不少于140元的概率.
19.如图，在 中， ， ，点 在线段 上，且 平分 ，将 沿 折成二面角 (点B与S重合)，且 .
(1)求证：平面 平面 ;
(2)求二面角 的正弦值.
20.在平面直角坐标系xOy中，椭圆E的中心为原点， 分别为E的左、右焦点，过F1的直线l交E于A、B两点，且 。
(1)求椭圆E的方程;
(2)过圆O： 上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线斜率都存在，试探究这两条切线斜率之间的关系。
21.已知函数
(1)当a=1时，求 在点 处的切线方程，判断切线与 图象的公共点个数，并说明理由;
(2)若 有两个不同的零点 ，求证： .
四、选做题(请考生从22、23、24三题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑，共10分)
22.如图，已知AD为圆O的直 径，直线BA与圆O相切于点A，直线OB与弦AC垂直并相交于点G，与弧AC相交于M，连接DC，AB=10，AC=12
(1)求证：BA DC=GC AD ;
(2)求BM.
23.在直角坐标系 中，以原点O为极点，以 轴正半轴为极轴，与直角坐标系 取相同的长度单位，建立极坐标系，已知点P的极坐标为 ，直线 的极坐标方程为 cos =a，且点P在直线 上。
(1)求a的值及直线 的直角坐标方程;
(2)设曲线C的参数方程 ( 为参数)，求曲线C上的点到直线 的值.
24.已知关于 的不等式
(1)当 ，求此不等式的解集;
(2)若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
泰和中学 吉安县中吉水中学 永丰中学2015届高三第一次联考数学试卷(理科)答题卡
一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.___________________ 14.__________________
15.___________________ 16.__________________
三、解答题(共70分)
17.(12分)
18.(12分)
19.(12分)
20.(12分)
21.(12分)
选做题(22、23、24中选一题做)(10分)
22. □ 23. □ 24. □
泰和中学 吉安县中吉水中学 永丰中学 2015届高三第一次联考数学(理科)答案
1-6 B C D B D C
7-12 D A A D B B
13. 2 14. 15. 16. 甲和丙
17.
由余弦定理得：
………………12分
18、(1)估计玩具A为正品的概率为 ……1分
估计玩具B为正品的概率为 ……2分
(2)①随机变量 的所有可能取值为90，45，30， 。
……6分
所以，随机变量 的分布列为：
90 45 30
P
……8分
②设生产的5件玩具B中正品有 件，则次品有( )件，依题意得 解得 ，所以 或 ，设“生产5件玩具B所获得利润不小于140元”为事件C，则 。……12分
19. 解：(1)过点S作SH CP于H，连AH，则
，又
又 即
又
平面ACP， 平面SPC平面APC ……6分
(2)方法一：以H为原点建立如图所示空间直角坐标系，则 .
, ,
,设平面SPC与平面SCA的法向量分别为 ,则显然 ,计算易得 .设二面角 的大小为 ,则 .
……12分
方法二：过H作 交AC于点M,则 平面SCP,过H作 于点N,连接MN,则 为二面角 的平面角,又
. ……12分
20.解：(1)设椭圆E的方和是
知
…………………………………………………………5分
(2)两切线互相垂直………………………………………………………6分
设点 且与椭圆E相切的切线 的方程为
联立
设满足题意的切线的斜率为k1、k2，则
两条切线相互垂直。………………………………………………12分
21、解: (1)当 时， ，
，又 切线方程为 ……2分
切线 与 的图象只有一个交点，证明如下：
当 时， ， 单调递增 ;当 时， ， 单调递减，所以 ，所以切线 与 的图象只有一个交点。……5分
(2)不妨设 ，因为 ，所以 ， ，可得 ，要证明 ，即证明 ，也就是 。因为 ，所以即证明 ，即 ，令 ，则 ，于是 。
令 ，则 ，故函数 在 是增函数，所以 ，即 ，所以原不等式成立。……12分
四、选考题：在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22、解：(1) ，
，则 ，
而 ，……5分
(2) ， ，则 ， ， ，即 ， ， ，延长BO交 O于点N，则
，解得 ……10分
23、解：(1) 直线 ：
， ，则
……5分
(2)
……10分
24、解：(1) 时，原不等式可化为 ，即
(i) 时， ，则
(ii) 时， ，则 ，
综上原不等式的解集为 或 ……5分
(2)依题意， 在 上恒成立，
由图象可得只需 或 ，即 或 ……10分
