2016年西藏高考数学模拟试题4

　　

　　题型一　抛物线的定义及其应用

　　例1　设P是抛物线y2=4x上的一动点，

　　(1)求点P到A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值;

　　(2)若B(3,2)，抛物线的焦点为F，求PB+PF的最小值.

　　破题切入点　画出图形，结合抛物线的定义，转化为共线问题.

　　解　(1)由于A(-1,1)，F(1,0)，P是抛物线上的任意一点，则AP+PF≥AF==，从而知点P到A(-1，1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和的最小值为，所以点P到A(-1,1)的距离与P到直线x=-1的距离之和的最小值也为.

　　(2)

　　如图所示，自点B作BQ垂直于抛物线的准线于点Q，交抛物线于点P1，此时P1Q=P1F，那么PB+PF≥P1B+P1Q=BQ=4，即PB+PF的最小值为4.

　　题型二　抛物线的标准方程及性质

　　例2　(1)设M(x0，y0)为抛物线C：x2=8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是________.

　　(2)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m.水位下降1 m后，水面宽________ m.

　　破题切入点　准确求出抛物线方程并结合其简单几何性质作答.

　　答案　(1)(2，+∞)　(2)2

　　解析　(1)∵x2=8y，∴焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y=-2.由抛物线的定义知FM=y0+2.

　　以F为圆心、FM为半径的圆的标准方程为x2+(y-2)2=(y0+2)2.

　　由于以F为圆心、FM为半径的圆与准线相交，

　　又圆心F到准线的距离为4，故42.

　　(2)建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2=-2py(p>0)，

　　则A(2，-2)，将其坐标代入x2=-2py得p=1.

　　∴x2=-2y.

　　水位下降1 m，得D(x0，-3)(x0>0)，

　　将其坐标代入x2=-2y，得x=6，

　　∴x0=.∴水面宽CD=2 m.

　　题型三　直线和抛物线的位置关系

　　例3　已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点A(1，-2).

　　(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程;

　　(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于?若存在，求直线l的方程;若不存在，请说明理由.

　　破题切入点　(1)将点代入易求方程.

　　(2)假设存在，根据条件求出，注意验证.

　　解　(1)将(1，-2)代入y2=2px，得(-2)2=2p·1，

　　所以p=2.

　　故所求的抛物线C的方程为y2=4x，

　　其准线方程为x=-1.

　　(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y=-2x+t.

　　由得y2+2y-2t=0.

　　因为直线l与抛物线C有公共点，

　　所以Δ=4+8t≥0，解得t≥-.

　　由直线OA到l的距离d=，

　　可得=，

　　解得t=±1.

　　又因为-1[-，+∞)，1∈[-，+∞)，

　　所以符合题意的直线l存在，其方程为2x+y-1=0.

　　总结提高　(1)抛物线没有中心，只有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴且离心率为e=1，所以与椭圆、双曲线相比，它有许多特殊性质，可以借助几何知识来解决.

　　(2)抛物线的标准方程有四种形式，要掌握抛物线的方程与图形的对应关系，将抛物线y2=2px关于y轴、直线x+y=0与x-y=0对称变换可以得到抛物线的其他三种形式;或者将抛物线y2=2px绕原点旋转±90°或180°也可以得到抛物线的其他三种形式，这是它们的内在联系.

　　(3)抛物线的焦点弦：设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

　　①y1y2=-p2，x1x2=;

　　②若直线AB的倾斜角为θ，则AB=;

　　③若F为抛物线焦点，则有+=.

　　1.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，-2)到焦点的距离为4，则m的值为________.

　　答案　4或-4

　　解析　设标准方程为x2=-2py(p>0)，

　　由定义知P到准线的距离为4，故+2=4，所以p=4，

　　则方程为x2=-8y，代入P点坐标得m=±4.

　　2.若抛物线y2=8x的焦点是F，准线是l，则经过点F，M(3,3)且与l相切的圆共有________个.

　　答案　1

　　解析　由题意得F(2,0)，l：x=-2，

　　线段MF的垂直平分线方程为y-=-(x-)，

　　即x+3y-7=0，设圆的圆心坐标为(a，b)，

　　则圆心在x+3y-7=0上，故a+3b-7=0，a=7-3b，

　　4.(2014·课标全国Ⅱ改编)设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________.

　　答案

　　解析　由已知得焦点坐标为F(，0)，

　　因此直线AB的方程为y=(x-)，

　　即4x-4y-3=0.

　　方法一　联立抛物线方程化简得4y2-12y-9=0，

　　故|yA-yB|==6.

　　因此S△OAB=OF·|yA-yB|=××6=.

　　方法二　联立方程得x2-x+=0，

　　故xA+xB=.

　　根据抛物线的定义有AB=xA+xB+p=+

　　=12，

　　同时原点到直线AB的距离为h==，

　　因此S△OAB=AB·h=.

　　5.已知抛物线y2=8x的准线为l，点Q在圆C：x2+y2+2x-8y+13=0上，记抛物线上任意一点P到直线l的距离为d，则d+PQ的最小值为________.

　　答案　3

　　6.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点.若AF=3，则△AOB的面积为______.

　　答案

　　解析　如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，

　　又AF=3，

　　由抛物线定义知：点A到准线x=-1的距离为3，

　　∴点A的横坐标为2.

　　将x=2代入y2=4x得y2=8，

　　由图知点A的纵坐标y=2，

　　∴A(2,2)，

　　∴直线AF的方程为y=2(x-1).

　　联立直线与抛物线的方程

　　解之得或由图知B，

　　∴S△AOB=OF·|yA-yB|=×1×|2+|

　　=.

　　7.过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若AB=，AF0)的焦点为F，其准线与双曲线-=1相交于A、B两点，若△ABF为等边三角形，则p=________.

　　答案　6

　　解析　因为△ABF为等边三角形，

　　所以由题意知B，

　　代入方程-=1得p=6.

　　11.(2014·大纲全国)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且QF=PQ.

　　(1)求C的方程;

　　(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程.

　　解　(1)设Q(x0,4)，代入y2=2px得x0=.

　　所以PQ=，QF=+x0=+.

　　由题设得+=×，

　　解得p=-2(舍去)或p=2.

　　所以C的方程为y2=4x.

　　(2)依题意知l与坐标轴不垂直，

　　故可设l的方程为x=my+1(m≠0).

　　代入y2=4x，得y2-4my-4=0.

　　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2=4m，y1y2=-4.

　　故设AB的中点为D(2m2+1,2m)，

　　AB=|y1-y2|=4(m2+1).

　　又l′的斜率为-m，

　　所以l′的方程为x=-y+2m2+3.

　　将上式代入y2=4x，

　　并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.

　　设M(x3，y3)，N(x4，y4)，

　　则y3+y4=-，y3y4=-4(2m2+3).

　　故设MN的中点为E(+2m2+3，-)，

　　MN= |y3-y4|=，

　　由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于AE=BE=MN，

　　从而AB2+DE2=MN2，

　　即4(m2+1)2+(+2)2+(2m+)2=，

　　化简得m2-1=0，解得m=1或m=-1.

　　所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.

　　12.已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.

　　(1)求曲线C的方程;

　　(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·<0?若存在，求出m的取值范围;若不存在，请说明理由.

　　解　(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：-x=1(x>0).

　　化简得y2=4x(x>0).

　　(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).

　　设l的方程为x=ty+m，

　　由得y2-4ty-4m=0，

　　Δ=16(t2+m)>0，于是①

　　又=(x1-1，y1)，=(x2-1，y2)，·<0

　　(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2<0.②

　　又x=，于是不等式②等价于·+y1y2-+1<0+y1y2-

　　+1<0.③

　　由①式，不等式③等价于m2-6m+1<4t2.④

　　对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2-6m+1<0，即3-2

　　由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·<0，且m的取值范围是(3-2，3+2).

　　由题意得|a-(-2)|=，

　　即b2=8a=8(7-3b)，即b2+24b-56=0.

　　又b>0，故此方程只有一个根，于是满足题意的圆只有一个.

　　3.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，P、Q是抛物线上的两个点，若△PQF是边长为2的正三角形，则p的值是________.

　　答案　2±

　　解析　依题意得F(，0)，设P(，y1)，Q(，y2)(y1≠y2).由抛物线定义及PF=QF，得+=+，∴y=y，∴y1=-y2.又PQ=2，因此|y1|=|y2|=1，点P(，y1).又点P位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得PF=+=2，由此解得p=2±.