2016年黑龙江高考数学专练练习:数列的通项与求和
一、选择题
1.已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a3=6，S3=12，则公差d等于()
A.1 B.
C.2 D.3
答案：C 命题立意：本题主要考查等差数列的通项公式、求和公式，考查运算求解能力.
解题思路：根据已知，a1+2d=6,3a1+3d=12，解得d=2，故选C.
2.已知数列{an}的前n项和Sn=an-1(a≠0)，则{an}()
A.一定是等差数列
B.一定是等比数列
C.或者是等差数列，或者是等比数列
D.既不可能是等差数列，也不可能是等比数列
答案：C 命题立意：等差数列和等比数列的基本运算是高考经常考查的重点，本题根据数列的前n项和求解通项公式，渗透等差数列和等比数列的定义，体现了基本知识的应用，同时也体现了分类讨论的思想，对能力要求较高，应予以重视.
解题思路： Sn=an-1(a≠0)， an=即an=当a=1时，an=0，数列{an}是一个常数列，也是等差数列;当a≠1时，数列{an}是一个等比数列，故选C.
3.在数列{an}中，若对任意的n均有an+an+1+an+2为定值(nN*)，且a7=2，a9=3，a98=4，则数列{an}的前100项的和S100等于()
A.132 B.299 C.68 D.99
答案：B 解题思路：设an+an+1+an+2=x，则an+1+an+2+an+3=x，两式作差得an=an+3，所以数列{an}为周期数列并且周期T=3，a98=a3×32+2=a2，a9=a3×2+3=a3，a7=a1，所以S100=33×S3+a1=299，故选B.
4.已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数，数列{bn}满足bn=lg an，b3=18，b6=12，则数列{bn}的前n项和的值等于()
A.126 B.130 C.132 D.134
答案：C 解题思路：bn+1-bn=lg an+1-lg an=lg =lg q(常数)，
{bn}为等差数列.
设公差为d， ∴ 由bn=-2n+24≥0，得n≤12， {bn}的前11项为正，第12项为零，从第13项起为负， S11，S12且S11=S12=132.
5.在数列{an}中，a1=1，a2=2，若an+2=2an+1-an+2，则an等于()
A.n3-n+ B.n3-5n2+9n-4
C.n2-2n+2 D.2n2-5n+4
答案：C 命题立意：本题考查等差数列的定义与通项公式、累加法求数列的通项公式，难度中等.
解题思路：依题意得(an+2-an+1)-(an+1-an)=2，因此数列{an+1-an}是以1为首项，2为公差的等差数列，an+1-an=1+2(n-1)=2n-1.当n≥2时，an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+1+3+…+(2n-3)=1+=(n-1)2+1=n2-2n+2.又a1=1=12-2×1+2，因此an=n2-2n+2，故选C.
6.(天津模拟)已知数列{an}满足a1=0，an+1=(nN*)，则a20=()
A.0 B.-1 C1. D.2
答案：B 命题立意：本题主要考查数列的周期性，难度中等.
解题思路：因为数列{an}满足a1=0，an+1=(nN*)，a2=-，a3=，a4=0， T=3，则a20=a2=-，故选B.
二、填空题
7.已知数列{an}中，a1=1，an+1=(-1)n(an+1)，记Sn为{an}前n项的和，则S2 013=________.
答案：-1 005 命题立意：本题主要考查递推数列的有关知识，要求考生掌握常见的几类求递推数列的通项与前n项和，首先是与等差(等比)数列相关的递推数列，其次是一阶线性递推数列，还有具有周期性的数列.本题就是一种具有周期性的递推数列.
解题思路：由a1=1，an+1=(-1)n(an+1)可得该数列是周期为4的数列，且a1=1，a2=-2，a3=-1，a4=0.所以S2 013=503(a1+a2+a3+a4)+a2 013=503×(-2)+1=-1 005.
8.在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a3+a4=11a2a4，且它的前2n项的和等于它的前2n项中偶数项之和的11倍，则数列{an}的通项公式an=________.
答案：102-n 命题立意：本题考查等比数列的通项公式及其前n项和公式等知识，考查考生的运算能力.
解题思路：设等比数列{an}的公比为q，前2n项和为S2n，前2n项中偶数项之和为Tn，由题意知q≠1，则S2n=，Tn=.由题意可知S2n=11Tn，即=.解得q=(或令n=1，则S2=11T1，即a1+a2=11a2，化简得a1=10a2，故q=).又a3+a4=11a2a4，所以a1q2+a1q3=11aq4，化简得1+q=11a1q2，将q=代入可得a1=10，故an=a1qn-1==102-n.
9.已知各项都为正数的数列{an}，其前n项的和为Sn，且Sn=(+)2(n≥2)，若bn=+，且数列{bn}的前n项的和为Tn，则Tn=________.
答案： 解题思路：-=，则=n，Sn=n2a1，an=Sn-Sn-1=(2n-1)a1，bn=+=2+-，Tn=++…+=2n+2-=.
10.数列{an}满足a1=3，an-anan+1=1，An表示{an}的前n项之积，则A2 013=________.
答案：-1 命题立意：本题与常考的求等差、等比数列的通项公式或前n项和不同，本题考查给定数列的前n项之积，这就要求考生能根据已知数列，得到数列的性质.求解本题的关键是得到{an}的周期.
解题思路：由a1=3，an-anan+1=1，得an+1=，所以a2==，a3=-，a4=3，所以{an}是以3为周期的数列，且a1a2a3=-1，又2 013=3×671，所以A2 013=(-1)671=-1.
三、解答题
11.数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=(an-1)，数列{bn}满足bn=bn-1-(n≥2)，且b1=3.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)设数列{cn}满足cn=an·log2(bn+1)，其前n项和为Tn，求Tn.
解析：(1)对于数列{an}有Sn=(an-1)，
Sn-1=(an-1-1)(n≥2)，
由-，得an=(an-an-1)，即an=3an-1，
当n=1时，S1=(a1-1)=a1，解得a1=3，
则an=a1·qn-1=3·3n-1=3n.
对于数列{bn}，有bn=bn-1-(n≥2)，
可得bn+1=bn-1+，即=.
bn+1=(b1+1)n-1=4n-1=42-n，
即bn=42-n-1.
(2)由(1)可知
cn=an·log2(bn+1)=3n·log2 42-n
=3n·log2 24-2n=3n(4-2n).
Tn=2·31+0·32+(-2)·33+…+(4-2n)·3n，
3Tn=2·32+0·33+…+(6-2n)·3n+(4-2n)·3n+1，
由-，得
-2Tn=2·3+(-2)·32+(-2)·33+…+(-2)·3n-(4-2n)·3n+1
=6+(-2)(32+33+…+3n)-(4-2n)·3n+1，
则Tn=-3++(2-n)·3n+1
=-+·3n+1.
12.已知数列{an}为等比数列，其前n项和为Sn，已知a1+a4=-，且对于任意的nN+有Sn，Sn+2，Sn+1成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)已知bn=n(nN+)，记Tn=+++…+，若(n-1)2≤m(Tn-n-1)对于n≥2恒成立，求实数m的范围.
解析：(1)设公比为q，
S1，S3，S2成等差数列，
2S3=S1+S2，
2a1(1+q+q2)=a1(2+q)，得q=-，
又a1+a4=a1(1+q3)=-，
a1=-， an=a1qn-1=n.
(2)∵ bn=n，an=n，
=n·2n，
Tn=1·2+2·22+3·23+…+n·2n，
2Tn=1·22+2·23+3·24+…+(n-1)·2n+n·2n+1，
①-，得-Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1，
Tn=-=(n-1)·2n+1+2.
若(n-1)2≤m(Tn-n-1)对于n≥2恒成立，
则(n-1)2≤m[(n-1)·2n+1+2-n-1]，
(n-1)2≤m(n-1)·(2n+1-1)，
m≥.
令f(n)=，f(n+1)-f(n)=-=<0，
f(n)为减函数，
f(n)≤f(2)=.
m≥.即m的取值范围是.
13.数列{an}是公比为的等比数列，且1-a2是a1与1+a3的等比中项，前n项和为Sn;数列{bn}是等差数列，b1=8，其前n项和Tn满足Tn=nλ·bn+1(λ为常数，且λ≠1).
(1)求数列{an}的通项公式及λ的值;
(2)比较+++…+与Sn的大小.
解析：(1)由题意得(1-a2)2=a1(a3+1)，
即2=a1，
解得a1=， an=n.
又即
解得或(舍).λ=.
